具有質量函數的離散分佈
$$ p（x; k）= \ frac {k} {（x + k）（x + k-1）}，\ quad x = 1 ，2，\ ldots $$
在本文第9頁上的變化。
對於$ k = 1 $，它是 Yule $ \ rho = 1 $的Simon發行版，但是我沒有找到其他示例。
它有名字嗎？它是否出現在其他任何上下文中？有可能會產生一個簡單的隨機過程嗎？
這是一個離散的冪定律。
（這是一個說明-其含義將在下面進行精確說明-而非技術性術語“離散冪律”的技術含義略有不同，如@Cardinal在此答案的註釋中所示。）
要看到這一點，請注意可以寫出部分分數分解
$$ p（x; k）= \ frac {k} {（x + k）（x + k-1）} = \ frac {1} {1 +（x-1）/ k} -\ frac {1} {1 + x / k}。$$
CDF望遠鏡會變成封閉形式：
$$ \ eqalign { & \ text {CDF}（i）= \ sum_ {x = 1} ^ ip（x; k）\\ = & [\ frac {1} {1 + 0 / k}-\ frac {1} {1 + 1 / k}] + [\ frac {1} {1 + 1 / k}-\ frac {1} {1 + 2 / k}] + \ cdots + [\ frac {1} {1 +（i-1 ）/ k}-\ frac {1} {1 + i / k}] \\ = & \ frac {1} {1 + 0 / k} + [-\ frac {1} {1 + 1 / k} + \ frac {1} {1 + 1 / k}] + [-\ frac {1} {1 + 2 / k} + \ cdots + \ frac {1} {1 +（i-1）/ k}]- \ frac {1} {1 + i / k} \\ = &1 + 0 + \ cdots + 0-\ frac {1} {1 + i / k} \\ = & \ frac {i} {i + k}。} $$
（順便說一下，因為這很容易反轉，所以它立即提供了一種從該分佈生成隨機變量的有效方法：只需計算$ \ lceil \ frac {ku} {1-u} \ rceil $，其中$ u $均勻分佈在$（0,1）$上。）
將此表達式與$ i $進行區分可以顯示 CDF可以寫為整數，
$$ \ text {CDF}（i）= \ frac {i} {i + k} = \ int_0 ^ i \ frac {dt / k} {（1 + t / k）^ 2} = \ sum_ {x = 1} ^ i \ int_ {x-1} ^ x \ frac {dt / k} {（1 + t / k） ^ 2}，$$
因此
$$ p（x; k）= \ int_ {x-1} ^ x \ frac {dt / k} {（1 + t / k）^ 2}。$$
這種書寫形式表現出$ k $ 作為比例參數，用於由密度決定的（連續）分佈族
$$ f（\ xi）d \ xi =（1 + \ xi）^ {-2} \，d \ xi $$
並顯示了$ p（x; k）$ 是如何通過積分從$ x-1到區間的連續概率而獲得的$到$ x $。顯然，這是指數為-2美元的冪定律。此觀察使您可以進入有關冪律及其在科學，工程和統計學中如何產生的大量文獻，這可能為您最後兩個問題提供許多答案。
好吧，經過更多的研究，我發現了更多細節。
這是幾何分佈與Beta連續混合的特例，因此可以稱為 Beta-幾何分佈。具體來說，如果：$$ P \ sim \ mathrm {Beta}（1，k）$$和：$$ X | P \ sim \ mathrm {Geometric}（P）$$，那麼$ Y的邊際分佈= X + 1 $具有此分佈。因此，這是正負二項式分佈的特例。
它還具有其他一些有趣的特性：