快速解答
原因是因為，假設數據是i.i.d。和$ X_i \ sim N（\ mu，\ sigma ^ 2）$，並定義\ begin {eqnarray *} \ bar {X} & = & \ sum ^ N \ frac {X_i} {N} \\ S ^ 2 & = & \ sum ^ {N} \ frac {（\ bar {X} -X_i）^ 2} {N-1} \ end {eqnarray *}在形成置信區間時，採樣分佈與樣本方差（$ S ^ 2 $，請記住，是一個隨機變量！）是卡方分佈（$ S ^ 2（N-1）/ \ sigma ^ 2 \ sim \ chi ^ 2_ {n-1} $），就像當您知道方差時，與樣本均值相關的採樣分佈是標準正態分佈（$（\ bar {X}-\ mu）\ sqrt {n} / \ sigma \ sim Z（0,1）$）不在的學生（$（\ bar {X}-\ mu）\ sqrt {n} / S \ sim T_ {n-1} $）。
長答案
首先，我們將證明$ S ^ 2（N-1）/ \ sigma ^ 2 $遵循卡方分佈，其中$ N-1 $度為自由。之後，我們將看到該證明在推導方差的置信區間時如何有用，以及卡方分佈如何顯示（以及為什麼如此有用！）。讓我們開始。
證明
為此，也許您必須習慣這篇 Wikipedia文章中的卡方分佈。此分佈只有一個參數：自由度$ \ nu $，並且碰巧具有矩生成函數（MGF），由以下公式給出：\ begin {equation *} m _ {\ chi ^ 2_ \ nu}（t）= （1-2t）^ {-\ nu / 2}。\ end {equation *}如果我們可以證明$ S ^ 2（N-1）/ \ sigma ^ 2 $的分佈具有這樣的矩生成函數一個，但具有$ \ nu = N-1 $，則我們表明$ S ^ 2（N-1）/ \ sigma ^ 2 $遵循具有$ N-1 $自由度的卡方分佈。為了顯示這一點，請注意兩個事實：
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如果我們定義，\ begin {equation *} Y = \ sum \ frac {（X_i- \ bar {X}）^ 2} {\ sigma ^ 2} = \ sum Z_i ^ 2，\ end {equation *}其中$ Z_i \ sim N（0,1）$，即標準正態隨機變量，$ Y $的矩生成函數為由\ begin {eqnarray *} m_Y（t）給定& = & \ mathbb {E} [e ^ {tY}] \\
& = & \ mathbb {E} [e ^ {tZ_1 ^ 2}] \ times \ mathbb {E} [e ^ {tZ_2 ^ 2}] \ times ... \ mathbb {E} [e ^ {tZ_N ^ 2 }] \\ & = &m_ {Z_i ^ 2}（t）\ times m_ {Z_2 ^ 2}（t）\ times ... m_ {Z_N ^ 2}（t）。\ end {eqnarray *} $ Z ^ 2 $由\ begin {eqnarray *} m_ {Z ^ 2}（t）& = & \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} f（z）\ exp（tz ^ 2）dz給出\\ & = &（1-2t）^ {-1/2}，\ end {eqnarray *}，其中我使用了標準法線的PDF，$ f（z）= e ^ {-z ^ 2/2 } / \ sqrt {2 \ pi} $，因此\開始{equation *} m_Y（t）=（1-2t）^ {-N / 2}，\ end {equation *}，暗示$ Y $遵循具有$ N $自由度的卡方分佈。
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如果$ Y_1 $和$ Y_2 $是獨立的，並且各自以卡方分佈，但具有$ \ nu_1 $和$ \ nu_2 $自由度，則$ W = Y_1 + Y_2 $分佈的卡方分佈具有$ \ nu_1 + \ nu_2 $自由度（這取自$ W $的MGF；執行此操作！）。
ol> 基於上述事實，請注意，如果乘以用$ N-1 $的樣本方差，得到（在一些代數之後），\ begin {equation *}（N-1）S ^ 2 = -n（\ bar {X}-\ mu）+ \ sum（X_i -\ mu）^ 2，\ end {equation *}，因此除以$ \ sigma ^ 2 $，\ begin {equation *} \ frac {（N-1）S ^ 2} {\ sigma ^ 2} + \ frac {（\ bar {X}-\ mu）^ 2} {\ sigma ^ 2 / N} = \ sum \ frac {（X_i- \ mu）^ 2} {\ sigma ^ 2}。\ end { equation *}請注意，該總和左側的第二項以具有1個自由度的卡方分佈分佈，而右側和是具有$ N $自由度的卡方分佈。 因此，$ S ^ 2（N-1）/ \ sigma ^ 2 $以具有$ N-1 $自由度的卡方分佈。
計算置信度
尋找方差的置信區間時，您想知道\ begin {equation *} \ mathbb {P} \ left（中的限制$ L_1 $和$ L_2 $ L_1 \ leq \ sigma ^ 2 \ leq L_2 \ right）= 1- \ alpha。 \ end {equation *}讓我們處理括號內的不等式。首先，將$ S ^ 2（N-1）$除以\ begin {equation *}
\ frac {L_1} {S ^ 2（N-1）} \ leq \ frac {\ sigma ^ 2} {S ^ 2（N-1）} \ leq \ frac {L_2} {S ^ 2（N-1 ）}。 \ end {equation *}然後記住兩件事：（1）統計量$ S ^ 2（N-1）/ \ sigma ^ 2 $具有卡方分佈，自由度為$ N-1 $，並且（2 ）方差始終大於零，這意味著您可以反轉不等式，因為\ begin {eqnarray *} \ frac {L_1} {S ^ 2（N-1）} \ leq \ frac {\ sigma ^ 2} {S ^ 2（N-1）} & \ Rightarrow& \ frac {S ^ 2（N-1）} {\ sigma ^ 2} \ leq \ frac {S ^ 2（N-1）} {L_1}，\ \ \ frac {\ sigma ^ 2} {S ^ 2（N-1）} \ leq \ frac {L_2} {S ^ 2（N-1）} & \ Rightarrow& \ frac {S ^ 2（N-1） } {L_2} \ leq \ frac {S ^ 2（N-1）} {\ sigma ^ 2}，\\ \ end {eqnarray *}因此，我們要尋找的概率是：\ begin {equation *} \ mathbb {P} \ left（\ frac {S ^ 2（N-1）} {L_2} \ leq \ frac {S ^ 2（N-1）} {\ sigma ^ 2} \ leq \ frac {S ^ 2 （N-1）} {L_1} \ right）= 1- \ alpha。 \ end {equation *}注意$ S ^ 2（N-1）/ \ sigma ^ 2 \ sim \ chi ^ 2（N-1）$。然後，我們想要\ begin {eqnarray *} \ int _ {\ frac {S ^ 2（N-1）} {L_2}} ^ {N-1} p _ {\ chi ^ 2}（x）dx & = &（ 1- \ alpha）/ 2 \ \ \，\\ \ int_ {N-1} ^ {\ frac {S ^ 2（N-1）} {L_1}} p _ {\ chi ^ 2}（x）dx & = &（1- \ alpha）/ 2 \ \ \，\ end {eqnarray *}（我們最多可以對$ N-1 $進行積分，因為具有$ N-1 $自由度的卡方隨機變量的期望值是$ N-1 $）或等效地\ begin {eqnarray *} \ int_ {0} ^ {\ frac {S ^ 2（N-1）} {L_2}} p _ {\ chi ^ 2}（x） dx = \ alpha / 2，\\ \ int _ {\ frac {S ^ 2（N-1）} {L_1}} ^ {\ infty} p _ {\ chi ^ 2}（x）dx = \ alpha / 2。 \ end {eqnarray *}調用$ \ chi ^ 2 _ {\ alpha / 2} = \ frac {S ^ 2（N-1）} {L_2} $和$ \ chi ^ 2_ {1- \ alpha / 2} = \ frac {S ^ 2（N-1）} {L_1} $，其中可以找到值$ \ chi ^ 2 _ {\ alpha / 2} $和$ \ chi ^ 2_ {1- \ alpha / 2} $在卡方表中（主要是在計算機中！）並求解$ L_1 $和$ L_2 $，\ begin {eqnarray *} L_1 & = & \ frac {S ^ 2（N-1）} {\ chi ^ 2_ { 1- \ alpha / 2}}，\\ L_2 & = & \ frac {S ^ 2（N-1）} {\ chi ^ 2 _ {\ alpha / 2}}。 \ end {eqnarray *}因此，您對方差的置信區間為\ begin {equation *} CI = \ left（\ frac {S ^ 2（N-1）} {\ chi ^ 2_ {1- \ alpha / 2 }}，
\ frac {S ^ 2（N-1）} {\ chi ^ 2 _ {\ alpha / 2}} \右）。 \ end {equation *}