kingledion
2017-04-02 04:54:03 UTC
讓$ X_i $是具有pdf $ f（\ mathbf {x} | \ theta）$的iid隨機變量，其中$ E（X_i）= 6 \ theta ^ 2 $，而$ \ theta > 0 $。
我已經計算出$ f（\ mathbf {x} | \ theta）$的參數（$ \ theta $）的估計量為$ \ hat {\ theta} = \ sqrt {\ bar {x} /6} $。為了證明這是一個無偏估計量，我應該證明$ E（\ hat {\ theta}）= E \ left（\ sqrt {\ bar {x} / 6} \ right）$。但是，由於$ \ hat {\ theta} ^ 2 = \ bar {x} / 6 $，所以顯示$$ \ begin {align} E（\ hat {\ theta} ^ 2）& =E（\ bar {x} / 6）\\ & = \ frac {1} {6} E \ left（\ frac {\ sum X_i} {n} \ right）\\ & = \ frac {1} {6n} \ sum E（X_i）\\ & = \ frac {1} {6n} n6 \ theta ^ 2 \\ & = \ theta ^ 2。\ end {align} $$
通常，證明$ x ^ 2 = 4 $與證明$ x = 2 $不同，因為$ x $也可能是$ -2 $。但是，在這種情況下，$ \ theta>0 $。
我已經證明$ \ hat {\ theta} ^ 2 $是無偏的，這足以表明$ \ hat {\ theta} $是無偏的嗎？
您的標題似乎沒有道理；它似乎在談論估計隨機變量-您估計的是一個參數；您的最後一句話說：“我已經證明$θ^ 2 $是無偏的$，但*參數*並非有偏的或無偏的，...參數的*估計數*是。請進行編輯，因此您的問題很清楚。
請參閱有關作業樣式（常規教科書類型）問題的[help / on-topic]（該討論適用於實際上是否為作業），然後按照此處的建議添加“ self-study”標籤，並修改您的問題遵循有關此類問題的指導原則。特別是，您需要清楚地確定自己為解決問題所採取的措施，並指出遇到困難時需要的具體幫助。
可能的重複項：https://stats.stackexchange.com/questions/271319/expectation-of-a-square-root-of-a-sample-mean/271326#271326
@Taylor當然是相關的，但是這裡的問題與那裡的問題沒有相同的答案。
@Glen_b是正確的，這裡的術語是錯誤的。但是，我懷疑您可能會問一個估計量是否對$ \ theta ^ 2 $是無偏的，那麼該估計量的平方根是否對於$ \ theta $是無偏的。不它不是。
@Glen_b我在最後一句話中添加了帽子，以明確表明這些是參數的估計量。我編輯了標題，以明確說明我也在估算參數。關於您的第二條評論，我添加了自學標籤。我不確定自己對所採取的步驟或所堅持的步驟不清楚。雖然我的用語不正確，但問題似乎很明顯，可以得到解答。
感謝您的修改。我建議您展示一些嘗試來證明您在此處詢問的結果。沒關係，可以給出指導和提示而無需給出完整的推導。