在社會科學的線性回歸中，Gelman和Hill發表[1]：

我們更喜歡自然對數（即，對數以$ e $為底），因為如上所述以上，自然對數標度上的係數可以直接解釋為近似比例差異：係數為0.06時，$ x $的差異為1對應於$ y $的差異約為6％，依此類推。

[1] Andrew Gelman和Jennifer Hill（2007）。 使用回歸和多層次/層次模型進行數據分析。劍橋大學出版社：劍橋；紐約，第60-61頁。

沒有充分的理由偏愛自然對數。假設我們正在估計模型：

  ln Y = a + b ln X  

自然對數（ln）與以10為底的對數之間的關係是ln X = 2.303 log X （源）。因此，該模型等效於：

  2.303 log Y = a + 2.303b log X  

，或者放一個/ 2.303 = a *：

  log Y = a * + b log X  

可以估計兩種形式的模型，並得出相同的結果。

略自然對數的優勢在於它們的一階微分更簡單：d（ln X）/ dX = 1 / X，而d（log X）/ dX = 1 /（（ln 10）X）（源）一個>。

要獲取計量經濟學教科書中的資料說可以使用任何一種對數形式，請參見古吉拉特語，計量經濟學要點 2006年第3版，第288頁。

我認為使用自然對數是因為在進行利息/增長計算時經常使用指數。

如果您處於連續時間並且要復利，那麼最終會得到某個總和的終值等於$ F（t）= Ne ^ {rt} $（其中r是利率，N是總和的名義金額）。

因為您最終得到指數在微積分中，擺脫它的最佳方法是使用自然對數，如果您進行逆運算，自然對數將為您提供達到一定增長所需的時間。

此外，對數（不管是自然的還是非自然的）的好處是，您可以將乘法轉換為加法。

關於為什麼我們在復利時最終使用指數的數學解釋，您可以找到它在這裡： http://zh.wikipedia.org/wiki/Continuously_compounded_interest#Periodic_compounding

基本上，您需要限制無限個int最嚴格的利率支付，最終就是指數的定義

即使以為，連續時間在現實生活中並未得到廣泛使用（您需要按月支付抵押貸款，而不是每秒鐘支付..），定量分析人員經常使用計算。

經濟學家喜歡使用對數函數形式的回歸的另一個原因是經濟的：係數可以理解為Cobb-Douglas函數的彈性。這一功能可能是經濟學家用來分析有關微觀經濟行為（消費者的偏好，技術，生產功能）和宏觀經濟問題（經濟增長）的最常用的功能。彈性項用於描述變量相對於另一個變量的響應程度。

唯一的原因是 Taylor擴展可以直觀地解釋結果。

讓我們看看很多計量經濟學中使用的典型變量，即GDP的對數差異： $$ \ Delta \ ln Y_t = \ ln Y_t- \ ln Y_ {t-1} = \ ln \ frac {Y_ {t}} {Y_ {t-1}} = \ ln \ left（1+ \ frac { \ Delta Y_t} {Y_ {t-1}} \ right）$$ ，其中$ \ frac {\ Delta Y_t} {Y_ {t-1}} $是現在的GDP增長率。

讓我們應用 Taylor擴展日誌： $$ \ Delta \ ln Y_t \ approx \ frac {\ Delta Y_t} {Y_ {t-1}}-\ frac 1 2 \ left（\ frac {\ Delta Y_t} {Y_ {t-1}} \ right ^ 2 + \點$$ 由於GDP增長率通常很小，例如對於美國，大約2％左右，我們可以刪除所有較高階的條款，然後得到： $$ \ Delta \ ln Y_t \ approx \ frac {\ Delta Y_t} {Y_ {t-1}} $$

因此，如果您在等式右側使用GDP的對數差異，例如作為回歸中的解釋變量，您可能具有以下內容： $$ \ dots = \ dots + \ beta \ times \ Delta \ ln Y_t $$ 可以解釋為“ $ \ beta $乘以GDP百分比變化。”

經濟學家喜歡易於解釋的變量。如果插入其他日誌庫，則可解釋性較弱。例如，查看對日誌基礎10進行的處理： $$ \ dots = \ dots + \ beta \ times \ Delta \ log_ {10} Y_t \\ \ approx \ dots + \ beta \ times \ frac 1 {\ ln（10）} \ frac {\ Delta Y_t} {Y_ {t-1}} $$ 這仍然有效，但是現在您需要將$ \ beta $除以一些不直觀的數字，以獲得“百分比變化”效果解釋。

這是經濟學所獨有的嗎？標準正態分佈中包含一個$ e ^ {-{1 \ over2} x ^ 2} $，而正態分佈只是涵蓋大量統計數據的大型指數分佈家族之一。 （請參閱GLM。）在這些情況下，自然對數似乎很有用。

如果您認為對數的反函數是指數函數（是對數的連續形式），則有充分的理由使用變量的對數轉換。一次增長約10％的經濟變量可以轉換為平均值約為10（加上一個常數）的變量。您不能使用不同基數的對數轉換來做到這一點。

不僅在計量經濟學中，使用 $ e $ span>基在幾乎所有領域（包括計算機科學領域）都更加“自然”，其中以 $ 0,1 $ span>（其中 $ \ log_2 $ span>可能是自然的）。

我想通過一些實驗證明 $ e $ span>是很自然的。

考慮以下三個函數 $ f_1（x）= 2 ^ x $ span>， $ f_ {2}（x） = 10 ^ x $ span>， $ f_3（x）= e ^ x $ span>，哪個更自然？許多人可能會說前兩個似乎更好，因為 $ 2 $ span>和 $ 10 $ span>是小整數，而 $ e $ span>是一個不合理的數字。

但是，考慮以下實驗，我們想研究 $ x_0 $ span>處函數的導數與 $ x_0 $ span>。

我們隨機選擇兩個點，例如 $ 1.23 $ span>和 $ 2.34 $ span>，我們將使用 $ f_1 $ span>為例。

以下是一些事實：

$ f_1'（1.23）= 1.625894，〜f_1'（2.34）= 3.509423 $ span>

$ f_1（1.23）= 2.34567，〜f_1（2.34）= 5.063026 $ span>

我們看到有一些模式：如果我們計算 $ f_1'（x_0）/ f_1（x_0）$ span>，它是一個常數： $ 0.6931472 = \ log（2）$ span>。

對於另一個函數 $ f_2 $ span>，此常量為 $ 2.302585 = \ log（10）$ span>。 （我將在代碼中附加一些有趣的實驗）

所以，要問的自然問題是，何時可以得到簡化的結果，而不必用該常數進行縮放（或該常數等於 $ 1.0 $ span >）？

答案是當基數為 $ e $ span>時。其中 $ f_3'（x）= f_3（x）$ span>。現在，我們可能會認為 $ e $ span>更自然嗎？

一些有趣的實驗代碼

 ＃假設我們有一些指數函數
＃因為2和10是小整數f1，所以f2看起來很自然
f1 <-函數（x）2 ^ x
＃f2 <- function（x）10 ^ x

＃簡單的代碼來計算數值梯度
simpleNumDiff <- function（f，x0）{
  （f（x0 + 1e-8）-f（x0））/ 1e-8
}

＃我們嘗試研究derv值和函數值模式
＃注意，它們不相等，但具有很強的模式
a1 = simpleNumDiff（f1,1.23）
b1 = f1（1.23）
a2 = simpleNumDiff（f1,2.34）
b2 = f1（2.34）
c（a1 / b1，a2 / b2）＃log（2）