您可以使用多元正態分佈對其進行近似，就像通過二元正態分佈近似二項分佈一樣。檢查15-16-17頁中的分佈理論的元素和多項式分佈。

讓$ P =（p_1，...，p_k）$是概率的向量。則多元正態分佈的均值向量為$ np =（np_1，np_2，...，np_k）$。協方差矩陣是一個$ k×k的對稱矩陣。對角元素實際上是$ X_i $的方差；即$ np_i（1-p_i）$，$ i = 1,2 ...，k $。第i行第j列的對角線元素為$ \ text {Cov}（X_i，X_j）=-np_ip_j $，其中$ i $不等於$ j $。

此答案中給出的密度是退化的，因此我使用以下公式來計算由正態近似得出的密度：

有一個定理說，給定一個隨機變量 $ X = [X_1，\ ldots，X_m] ^ T \ sim \ text {Multinom}（n，p）$ span>，用於 $ m $ span>維矢量 $ p $ span>和 $ \ sum_i p_i = 1 $ span>和 $ \ sum_i X_i = n $ span>，即；

$$ X \ xrightarrow {d} \ sqrt {n} \，\ text {diag}（u）\，Q \ begin {bmatrix} Z_1 \\ \ vdots \\ Z_ {m-1} \\ 0 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} n p_1 \\ \ vdots \\ n p_m \ end {bmatrix}， $$ span>

對於大型 $ n $ span>，已給定；

• 向量 $ u $ span>與 $ u_i = \ sqrt {p_i} $ span>;
• 隨機變量 $ Z_i \ sim N（0,1）$ span> for $ i = 1，\ ldots，m -1 $ span>和；
• 正交矩陣 $ Q $ span>，最後一列為 $ u $ span>。

也就是說，通過重新排列，我們可以為第一個 $ m-1 $ span>維度多元正態分佈 $ X $ span>的container“> $ m-1 $ span>組件（這是唯一有趣的組件，因為 $ X_m $ span>是其他值的總和。

矩陣 $ Q $ span>的合適值為 $ I-2 vv ^ T $ span>，其中 $ v_i =（\ delta_ {im}-u_i）/ \ sqrt {2（1-u_m）} $ span>-即特定的Householder轉換。

如果我們將左側限制為第一行 $ m-1 $ span>行，並限制 $ Q $ span>到其第一行 $ m-1 $ span>行和 $ m-1 $ span>列（表示這些 $ \ hat {X} $ span>和 $ \ hat {Q} $ span>分別）然後： >

$$ \ hat {X} \ xrightarrow {d} \ sqrt {n} \ text {diag}（\ hat {u}）\ hat {Q} \ begin {bmatrix} Z_1 \\ \ vdots \\ Z_ {m-1} \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} n p_1 \\ \ vdots \\ n p_ {m-1} \ end {bmatrix} \ sim \ mathcal {N} \ left（\ mu，n \ Sigma \ right）， $$ span>

對於大型 $ n $ span>，其中；

• $ \ hat {u} $ span>表示 $ m-1 $ span>項class =“ math-container”> $ u $ span>;
• 平均值是 $ \ mu = [n p_1，\ ldots，n p_ {m-1}] ^ T $ span>，並且;
• 協方差矩陣 $ n \ Sigma = n AA ^ T $ span>與 $ A = \ text {diag}（ \ hat {u}）\ hat {Q} $ span>。

最後一個方程的右側是計算中使用的非簡併密度。

按預期的方式，當您插入所有內容時，您將獲得以下協方差矩陣：

$$（n \ Sigma）_ {ij} = n \ sqrt {p_i p_j}（\ delta_ {ij}-\ sqrt {p_i p_j}）$$ span>

對於 $ i，j = 1，\ ldots，m-1 $ span>，它與原始答案中的精確協方差矩陣僅限其前 $ m-1 $ span>行和 $ m-1 $ span>列。

這個博客條目是我的出發點。