不需要使用密度函數

積分1減去CDF

當您有一個隨機變量$ X $且其支持為非負數（即是，該變量僅對於正值具有非零的密度/概率），可以使用以下屬性：

$$ E（X）= \ int_0 ^ \ infty \ left（1-F_X（x） \ right）\，\ mathrm {d} x $$

類似的屬性適用於離散隨機變量。

證明

自$ 1起-F_X（x）= P（X \ geq x）= \ int_x ^ \ infty f_X（t）\，\ mathrm {d} t $，

$$ \ int_0 ^ \ infty \ left（ 1-F_X（x）\ right）\，\ mathrm {d} x = \ int_0 ^ \ infty P（X \ geq x）\，\ mathrm {d} x = \ int_0 ^ \ infty \ int_x ^ \ infty f_X （t）\，\ mathrm {d} t \ mathrm {d} x $$

然後更改集成順序：

$$ = \ int_0 ^ \ infty \ int_0 ^ t f_X（t）\，\ mathrm {d} x \ mathrm {d} t = \ int_0 ^ \ infty \ left [xf_X（t）\ right] _0 ^ t \，\ mathrm {d} t = \ int_0 ^ \ infty t f_X（t）\，\ mathrm {d} t $$

認識到$ t $是一個虛擬變量，或者採用簡單替換$ t = x $和$ \ mathrm { d} t = \ mathrm {d} x $，

$$ = \ int_0 ^ \ infty x f_X（x）\，\ mathrm {d} x = \ mathrm {E}（X）$$

歸因

我在 Wikipedia上期望值文章的特殊情況公式部分中使用了刷新我對證明的記憶。該部分還包含離散隨機變量情況以及不存在密度函數的情況的證明。

結果也擴展到$ X $的$ k $ th時刻。這是一個圖形表示：

針對概率概率邏輯的評論進行了編輯

請注意，在這種情況下$ F（1）= 0 $，因此分佈的概率為$ 0 $小於$ 1 $，因此$ x \ ge 1 $，您還需要$ \ alpha > 0 $來增加cdf。

如果您擁有cdf，則需要具有這樣的連續分佈的反積分或導數

$$ f（x）= \ frac {dF（x）} {dx} $$

，反之$ F（x）= \ int_ {1} ^ xf（t）\，dt $表示$ x \ ge 1 $。

然後要找到期望，您需要找到

$$ E [X] = \ int_ {1} ^ {\ infty} xf（x）\，dx $$

提供這存在。我將把微積分留給你。

我認為您實際上是指$ x \ geq 1 $，否則CDF是空虛的，因為$ F（1）= 1-1 ^ {-\ alpha} = 1-1 = 0 $。

您對CDF的“了解”是，隨著參數$ x $無限減小，它們最終接近零，最終像$ x \ infty $一樣接近1。它們也是非遞減的，因此這意味著$ 0 \ leq F（y）\ leq F（x）\ leq 1 $對於所有$ y \ leq x $。

因此，如果我們插入CDF我們得到：

$$ 0 \ leq 1-x ^ {-\ alpha} \ leq 1 \ implies 1 \ geq \ frac {1} {x ^ {\ alpha}} \ geq 0 \ implies x ^ {\ alpha} \ geq 1 > 0 \暗示x \ geq 1 \ >。$$

由此我們得出結論，對$ x $的支持為$ x \ geq 1 $。現在我們還需要$ \ lim_ {x \ to \ infty} F（x）= 1 $，這意味著$ \ alpha>0 $

要計算出期望值，我們需要：

$$ \ newcommand {\ rd} {\ mathrm {d}} E（X）= \ int_ {1} ^ {\ infty} x \ frac {\ rd F（x）} {\ rd x} \ rd x = \ alpha \ int_ {1} ^ {\ infty} x ^ {-\ alpha} \ rd x $$

最後一個表達式表明$ E（X）$存在，我們必須有$-\ alpha<-1 $，這又意味著$ \ alpha>1 $。可以很容易地擴展它來確定存在第r個原始時刻$ E（X ^ {r}）$的$ \ alpha $的值。