從我的角度來看，差異很重要，但主要是出於哲學原因。假設您有一些設備，它會隨著時間的推移而改善。因此，每次使用設備時，發生故障的可能性都比以前小。

概率收斂表示，隨著使用次數達到無窮大，失敗的機會變為零。因此，在多次使用該設備之後，您可以確信它可以正常工作，但仍然可能會發生故障，這幾乎是不可能的。

收斂性肯定會更強一點。它說失敗的總數是有限。也就是說，如果隨著使用次數達到無窮大而計算失敗次數，則將獲得有限的次數。其影響如下：隨著您越來越多地使用該設備，經過一定次數的使用，您將耗盡所有故障。從那時起，設備將完全運行。

正如Srikant所指出的，您實際上並不知道什麼時候耗盡了所有故障，因此從純粹的實際角度來看，兩種融合模式之間並沒有太大的區別。

但是，我個人很高興，例如，存在著強大的大數定律，而不僅僅是弱小的定律。因為現在，進行平均速度可以證明進行光速實驗的科學依據。至少從理論上講，在獲得足夠的數據之後，您可以任意接近真實的光速。平均過程中不會有任何失敗（但是不可能）。

讓我澄清一下我的意思是“平均過程中的失敗（但是不可能）”。選擇一些$ \ delta> 0 $任意小。您將獲得$ n $估計具有某些“真實”值（例如$ \ mu $）的光速（或其他數量）的$ X_1，X_2，\ dots，X_n $。您可以計算平均$$ S_n = \ frac {1} {n} \ sum_ {k = 1} ^ n X_k。 隨著我們獲得更多數據（增加$ n $），我們可以為每個$ n = 1,2，\ dots計算$ S_n $。弱定律說（在關於$ X_n $的某些假設下），作為$ n $的概率$$ P（| S_n-\ mu |> \ delta）\ rightarrow 0 $$變為$ \ infty $。強定律說$ | S_n-\ mu | $大於$ \ delta $的次數是有限的（概率為1）。也就是說，如果定義指標函數$ I（| S_n-\ mu |> \ delta）$，則當$ | S_n-\ mu | > \ delta $，否則為零，然後$$ \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} I（| S_n-\ mu |> \ delta）$$收斂。這使您對$ S_n $的值具有相當大的信心，因為它可以保證（即，概率為1）某些有限的$ n_0 $的存在，使得$ | S_n-\ mu |對於$ n> n_0 $的所有$ n為< \ delta $（即，對於$ n> n_0 $的平均從不失敗）。請注意，薄弱的法律並不能提供這樣的保證。

我知道這個問題已經回答了（我認為很好），但是還有一個不同的問題這裡，其中有一個@NRH註釋，其中提到了圖形說明，而不是將圖片放置在那裡似乎更合適。

所以，就到這裡。它不像R包那麼酷。但這是自包含的，不需要訂閱JSTOR。

在下面的內容中，我們談論的是簡單的隨機遊走，$ X_ {i} = \ pm 1 $具有相等的概率，並且我們正在計算移動平均值，$$ \ frac {S_ {n}} {n} = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} X_ {i}，\ quad n = 1， 2，\ ldots。$$

SLLN（幾乎可以肯定地收斂）表示我們可以100％確保 this 曲線拉伸右移將最終在某個有限的時間之後永遠完全落在該頻帶內（右移）。

用於生成此圖形的R代碼在下面（為簡潔起見，省略了圖形標籤）。

  n <- 1000; m <-50； e <- 0.05s <- cumsum（2 *（rbinom（n，size = 1，prob = 0.5）-0.5））圖（s / seq.int（n），type =“ l”，ylim = c（- 0.4，0.4））斜線（h = c（-e，e），lty = 2） 

WLLN（收斂於概率）表示，大部分採樣路徑將在時間$ n $處在右側的波段中（對於上面的情況，它看起來像48個或50個中的9個）。我們永遠無法確定任何 specific 曲線在任何有限的時間內都將位於內部，但是如果查看上方的麵條質量，那將是一個非常安全的選擇。 WLLN還說，通過使圖足夠寬，可以使內部麵條的比例盡可能接近1。

該圖的R代碼如下（同樣，跳過標籤）。

  x <-矩陣（2 *（rbinom（n * m，大小= 1，概率= 0.5）-0.5），ncol = m）y <- apply（x，2，function（z ）cumsum（z）/ seq_along（z））matplot（y，type =“ l”，ylim = c（-0.4,0.4））abline（h = c（-e，e），lty = 2，lwd = 2 ）
 

我理解如下，

概率收斂

隨機變量序列等於目標值的概率逐漸減小並趨於0，但實際上從未達到0。

幾乎肯定收斂

隨機變量序列將漸近等於目標值，但是您無法預測它在什麼點上

幾乎可以肯定，收斂是對隨機變量序列的行為的更強條件，因為它指出“一定會發生某事”（我們只是不知道什麼時候發生）。相反，概率收斂表明“雖然可能發生某事”，但“ 不某事發生”的可能性逐漸減小，但實際上從未達到0。（某事 $ \ equiv $ span>收斂到特定值的隨機變量序列）。

wiki都有一些示例，這兩個示例應有助於澄清以上內容（特別是在prob收斂的情況下，參見弓箭手的示例，以及在prob中的慈善機構的示例）。

從實際的角度來看，概率收斂就足夠了，因為我們並不特別在乎不太可能發生的事件。例如，估計量的一致性本質上是概率收斂。因此，當使用一致的估計時，我們隱含地承認一個事實，即在大樣本中，我們的估計與真實值相差甚遠的可能性很小。我們生活在概率收斂的“缺陷”中，因為我們知道漸近地估計量遠離事實的概率很小。

如果您喜歡視覺上的解釋，請參閱《美國統計學家》中有關該主題的“教師角”文章（見下）。此外，作者還提供了一個 R包以方便學習。

  @article {lafaye09，title = {了解融合概念：一種視覺思維和圖形模擬-Based Approach}，作者= {Lafaye de Micheaux，P. and Liquet，B.}，期刊= {The American Statistician}，第= {63}，數字= {2}，頁數為{173--178}，年= {2009}，發布商= {ASA}}  

最後一個傢伙解釋得很好。如果採用概率為1 / n的隨機變量Xn = 1序列，否則為零。可以很容易地看到限制，使其收斂到零概率，但是幾乎不能確定收斂。正如他所說，概率並不在乎我們可能會一路走下去。幾乎可以肯定。

幾乎可以肯定地暗示了概率的收斂，但是不是相反的方式？

幫助我理解差異的一件事是以下等價

$ P（{\ lim_ {n \ to \ infty} | X_n-X | = 0}）= 1 \ Leftarrow \ Rightarrow \ lim_ {n \ to \ infty}（{\ sup_ {m> = n} |X_m-X | > \ epsilon}）= 0 $ $ \ forall \ epsilon > 0 $

比較隨機收斂：

$ \ lim_ {n \ to \ infty} P（| X_n-X | > \ epsilon）= 0 $ $ \ forall \ epsilon >0 $

當將上等值線的右側與隨機收斂進行比較時，我認為差異變得更加明顯。