通常我不會報告$ R ^ 2 $。 Hosmer和Lemeshow在其教科書 應用邏輯回歸（第二版）中解釋了原因：

通常，[$ R ^ 2 $度量]是基於對擬合模型的預測值與[基礎模型]，無數據或僅截距模型的預測值的各種比較而得出的，因此，不評估擬合優度。我們認為，擬合的真實度量是嚴格基於擬合模型中觀察值與預測值的比較的度量。

[在p。 164。]

關於$ R ^ 2 $的各種ML版本，即“偽$ R ^ 2 $”統計信息，他們提到它不“建議用於常規用途，因為它不那麼直觀易於解釋，”，但由於各種軟件包都報告，他們不得不描述它。

他們通過編寫

... low $ R ^結束了這一討論。邏輯回歸中的2 $值是常態，當向習慣於看到線性回歸值的受眾群體報告其值時，這會帶來問題。 ...因此，[通過參考文本中的運行示例進行爭論]我們不建議例行發布$ R ^ 2 $值與擬合邏輯模型的結果。但是，它們可以作為評估競爭模型的統計信息在模型構建狀態中有所幫助。

[At p。 167。]

我對某些大型邏輯模型（100k至300​​k記錄，100-300個解釋變量）的經驗與H & L所描述的完全相同。根據我的數據，我可以達到較高的$ R ^ 2 $，最高可達0.40。這些對應於3％到15％之間的分類錯誤率（假陰性和假陽性是平衡的，已使用50％保留數據集進行了確認）。正如H & L所暗示的那樣，我不得不花費大量時間使客戶（一位熟悉$ R ^ 2 $的老練顧問，他自己）對$ R ^ 2 $不感興趣，並使他專注於分析中的重要內容（分類錯誤率）。我可以熱烈建議在不參考$ R ^ 2 $的情況下描述您的分析結果，這很可能會誤導您。

兩個指標都是關聯強度的度量（即，對於LR測試，是否有任何預測因子與結果相關聯），並且可以用來量化預測能力或模型性能。單個預測變量可能會對結果產生重大影響，但對於預測單個響應可能不一定有用，因此需要整體評估模型的性能（寫零模型）。如Srikant所說，Nagelkerke $ R ^ 2 $之所以有用，是因為其最大值為1.0。這只是根據似然比$ R ^ 2 _ {\ text {LR}} = 1- \ exp（-\ text {LR} / n）$計算得到的$ R ^ 2 $的規範化版本，根據Cox和Snell最初提出的整體關聯的Wald統計量，其他預測能力指標包括Brier得分，C指標（一致性概率或ROC面積）或Somers'D，後兩者提供了更好的預測指標

在邏輯回歸中唯一的假設是線性和可加性（+獨立性）。儘管提出了許多全球擬合優度測試（例如Hosmer & Lemeshow $ \ chi ^ 2 $測試，但請參閱我對的評論），但它們通常缺乏功能。為了評估模型擬合度，最好依靠視覺標準（分層估計，非參數平滑），以幫助發現預測和觀察到的結果（例如非線性或相互作用）之間的局部或全局偏離，這在Harrell的 RMS講義。在相關主題（校準測試）上，Steyerberg（ 臨床預測模型，2009）指出了評估觀察結果與預測概率之間一致性的相同方法：

校準與擬合優度相關，擬合優度與模型擬合給定數據集的能力有關。通常，沒有一個擬合優度檢驗具有 克服各種缺乏預測模型的能力。缺乏擬合的例子是線性預測器和結果之間缺少非線性，相互作用或不適當的鏈接函數。擬合優度可以使用$ \ chi ^ 2 $統計量進行測試。 （第274頁）

他還建議在視覺上或通過所謂的Harrell E統計量依靠平滑觀察到的結果與預測概率之間的絕對差。

更多詳細信息可以在Harrell的書《回歸建模策略》中找到（第203-205、230-244、247-249頁）。有關最新討論，另請參見

Steyerberg，EW，Vickers，AJ，Cook，NR，Gerds，T，Gonen，M，Obuchowski，N，Pencina，MJ和Kattan，MW（2010年） 。 評估預測模型的性能，這是傳統和新穎措施的框架。 流行病學， 21（1），第128-138頁。

我會認為任何用於邏輯回歸的 $ R ^ 2 $ span>度量的主要問題是您要處理的模型具有已知的噪聲值。這與標準線性回歸不同，標準線性回歸通常將噪聲水平視為未知。因為我們可以將glm概率密度函數編寫為：

$$ f（y_i | \ mu_i，\ phi）= \ exp \ left（\ frac {y_ib （\ mu_i）-c（\ mu_i）} {\ phi} + d（y_i，\ phi）\ right）$$ span>

其中 $ b（。），\ c（。），\ d（。;。）$ span>是已知函數，並且 $ \ mu_i = g ^ {-1}（ x_i ^ T \ beta）$ span>用於反向鏈接函數 $ g ^ {-1}（。）$ span>。如果我們將通常的GLM偏差殘差定義為

\ begin {align} d_i ^ 2 & = 2 \ phi \ left（\ log [f [y（i_i | \ mu_i = y_i，\ phi）]-\ log [f（y_i | \ mu_i = \ hat {\ mu} _i，\ phi）] \ right）\\ & = 2 \ phi \ left [y_ib（y_i）-y_ib （\ hat {\ mu} _i）-c（y_i）+ c（\ hat {\ mu} _i）\ right] \ end {align} span>我們（通過似然比卡方， $ \ chi ^ 2 = \ frac {1} {\ phi} \ sum_ {i = 1} ^ {N} d_i ^ 2 $ span>）

$$ E \ left（\ sum_ {i = 1} ^ {N} d_i ^ 2 \ right）= E（\ phi \ chi ^ 2）\ approx（Np）\ phi $$ span>

其中 $ p $ span>是 $ \ beta $ span>的尺寸。對於邏輯回歸，我們有 $ \ phi = 1 $ span>，這是已知的。因此，我們可以使用它來確定“可接受”或“合理”的確定殘差水平。對於OLS回歸，通常無法做到這一點（除非您事先具有有關噪聲的信息）。即，我們期望每個偏差殘差約為 $ 1 $ span>。 $ d_i ^ 2 \ gg1 $ span>太多，該模型可能缺少重要的影響（擬合不足）； $ d_i ^ 2 \ ll1 $ span>太多，並且模型中可能存在多餘或虛假的影響（過度擬合）。 （這也可能意味著模型規格不正確）。

現在，這意味著偽 $ R ^ 2 $ span>的問題在於它無法考慮到二項式變化的水平是可預測的（前提是不質疑二項式誤差結構）。因此，即使Nagelkerke的範圍從 $ 0 $ span>到 $ 1 $ span>，它仍無法正確縮放。此外，如果它們與通常的不相等，為什麼看不到為什麼它們被稱為偽 $ R ^ 2 $ span> $ R ^ 2 $ span>當您為帶有身份鏈接和正常錯誤的“ GLM”安裝時。例如，正常錯誤的等效Cox嗅覺R平方（使用REML方差估計）由下式給出：

$$ R ^ 2_ {CS} = 1- \ exp \ left（-\ frac {Np} {N} \ cdot \ frac {R ^ 2_ {OLS}} {1-R ^ 2_ {OLS}} \ right）$$ span>

那看起來確實很奇怪。

我認為更好的“擬合優度”度量是偏差殘差的總和， $ \ chi ^ 2 $ span>。這主要是因為我們有一個目標。

我找到了Tue Tjur的簡短文章“邏輯回歸模型中的確定係數-新提案：歧視係數”（2009年，《美國統計師》 ）在邏輯模型中確定係數的建議非常有啟發性。他在突出優點和缺點方面做得很好-當然提供了新的定義。非常推薦（儘管我自己不喜歡）。

我也要說“都不是”，所以我贊成胡布的回答。

除了批評R ^ 2，Hosmer & Lemeshow還提出了另一種衡量善良的方法。 -適合有時有用的邏輯回歸。這是基於通過按預測概率（或等效地，線性預測變量）排序將數據分為（例如）10個大小相等（或盡可能接近）的組，然後將觀察到的陽性反應與預期的每組陽性反應進行比較並執行卡方檢驗。大多數統計軟件包都實施了這種“ Hosmer-Lemeshow擬合優度檢驗”。

我更喜歡Nagelkerke，因為當模型完全擬合時該模型擬合為1，從而使讀者感覺到您的模型離完美擬合還有多遠。 Cox &外殼無法達到1以獲得完美的模型擬合，因此解釋0.09的值會有點困難。有關偽RSquared的更多信息，請參見此URL，以獲取各種擬合的說明。

儘管有人反對使用偽R平方，但出於各種原因，有些人還是希望至少在某些時候繼續使用它們。我從閱讀中得出的結論（對不起，目前我無法提供引用）是

• ，如果同時使用C&S和Nag。低於.5，則C&s會更好；如果兩者均高於.5，則Nag。將;和
  如果跨越0.5，則平底船。

此外，斯科特·梅納德（Scott Menard）在《應用邏輯回歸分析》（Sage）中提到，其結果通常介於兩者之間的公式是

  [-2LL0-（-2LL1）] /-2LL0。 

在下表中將其表示為“ L”。