關於置信區間有很多問題，但讓我們集中討論報價。問題在於可能的誤解，而不是正確性。當人們說“參數具有某種可能性”時，他們將參數視為隨機變量。這不是（經典）置信區間過程的觀點，對於該過程，隨機變量是區間本身，並且參數是確定的，不是隨機的，但未知。在數學上，如果我們讓$ t $是將數據$ \ mathbf {x} =（x_i）$映射到參數空間子集的任何過程，並且（無論參數$ \ theta $的值是什麼，斷言$ \ theta \ in t（\ mathbf {x}）$都會定義事件$ A（\ mathbf {x}）$，然後-根據定義-對於$ \ theta $的任何可能值，概率為$ \ Pr _ {\ theta} \ left（A（\（mathbf {x}）\ right）$。當$ t $是具有置信度$ 1- \ alpha $的置信區間過程時，則該概率的最小值（在所有參數值上）為$ 1- \ alpha $。 （根據此標準，我們通常選擇優化某些附加屬性的過程，例如產生較短的置信區間或對稱的區間，但這是另一回事。）然後，大數定律弱化了第二個引號。但是，這並不是對置信區間的定義：它只是它們具有的一個屬性。

我認為該分析已經回答了問題1，表明問題2的前提不正確，因此使問題3成為可能。辯論。

在考慮置信區間時，我發現這個思想實驗很有幫助。它還會回答您的問題3。

讓$ X \ sim U（0,1）$和$ Y = X + a- \ frac {1} {2} $。考慮兩個$ Y $觀測值，分別取值$ y_1 $和$ y_2 $對應於$ X $觀測值$ x_1 $和$ x_2 $，並令$ y_l = \ min（y_1，y_2）$和$ y_u = \ max（y_1，y_2）$。那麼$ [y_l，y_u] $是$ a $的50％置信區間（因為如果$ x_1< \ frac12<x_2 $或$ x_1> \ frac12>x_2 $包含該區間，則該區間包括$ a $），每個概率為$ \ frac14 $。

但是，如果$ y_u-y_l> \ frac12 $，則我們知道區間包含$ a $的概率為$ 1 $，而不是$ \ frac12 $。精妙之處在於，參數的$ z \％$置信區間意味著區間的端點（是隨機變量）位於參數的兩側，概率為$ z \％$ ，然後計算區間，而不是計算間隔後參數位於間隔內的概率為$ z \％$ 。

我不會將CI的定義稱為錯誤，但是由於存在多個概率定義，因此容易誤解。配置項基於以下概率定義（頻率論者或本體論者）

（1）一個命題的概率=長期觀察該命題為真的次數的比例，該條件取決於數據生成過程

因此，為了在概念上有效地使用CI，您必須 接受概率的定義。如果您不這樣做，那麼從理論的角度來看，您的間隔就不是CI。 >概率，以明確使用概率的“長期運行”定義。

概率的主要替代定義（認識論或概率是演繹邏輯或貝葉斯的擴展） ）是

（2）一個命題的概率=該命題是真實的合理信念程度，以知識狀態為條件

人們通常會直觀地混合使用這兩種定義，並使用碰巧符合其直覺的任何解釋。這會使您陷入各種令人困惑的情況（尤其是當您從一種範例轉到另一種範例時。）。

兩種方法通常會導致相同的結果，這意味著在某些情況下，我們有： / p>

該命題是正確的合理信念程度，以知識狀態為條件=長期觀察到該命題為事實的時間比例，該條件取決於數據生成過程

關鍵是它不能普遍地存在，所以我們不能期望兩個不同的定義總是導致相同的結果。因此，除非您實際計算出貝葉斯解決方案，然後發現它是相同的區間，否則您不能將CI給出的區間解釋為包含真實值的概率。如果這樣做，則該間隔不是置信區間，而是可信區間。

R.A。 Fisher對於置信區間的有用性有一個標準：CI不應承認暗示不同置信度的“可識別子集”。在大多數（如果不是全部）反例中，我們會遇到具有可識別概率不同的可識別子集的情況。

在這種情況下，您可以使用貝葉斯信度間隔來指定參數的主觀感覺，或者可以給定數據來製定似然區間以反映參數的相對不確定性。

例如，似乎相對無矛盾的一種情況是總體均值的兩面法線置信區間。假設從具有給定標準值的正常人群中採樣，則95％CI承認沒有可識別的子集，該子集不會提供有關該參數的更多信息。這可以從以下事實看出：樣本均值在似然函數中具有足夠的統計量-即，一旦我們知道樣本均值，似然函數就獨立於各個樣本值。

正常均值的95％對稱CI的任何主觀置信度，都較少來自所述的覆蓋概率，更多地是因為正常均值的對稱95％CI是“最高似然”區間，即，間隔比間隔外的任何參數值都具有更高的可能性。但是，由於似然不是概率（從長期準確性的角度來看），所以它更多是一種主觀標準（就像先驗和似然的貝葉斯用法一樣）。總之，法向平均值的無限多個區間具有95％的覆蓋率，但只有對稱CI具有我們期望的區間估計的直觀似然性。

因此，R.A。 Fisher準則暗示，覆蓋率僅在不承認這些可識別子集的情況下，才應與主觀信心等同。如果存在子集，則覆蓋概率將取決於描述子集的參數的真實值。為了獲得具有直觀置信度的區間，您需要根據適當的輔助統計條件對區間估計進行條件調整，以幫助識別子集。或者，您可以求助於分散/混合模型，這自然會導致將參數解釋為隨機變量（也就是貝葉斯統計量），或者您可以在似然框架下計算輪廓/條件/邊際似然。無論哪種方式，您都放棄了客觀上可驗證的正確性的希望，只是主觀的“偏好排序”。

希望這會有所幫助。

從理論角度看，問題2和3基於錯誤的假設，即定義錯誤。因此，我在這方面同意@whuber的回答，@ whuber對問題1的回答不需要我提供任何其他投入。

但是，從更實際的角度來看，當置信區間與基於相同信息的貝葉斯可信區間在數值上相同時（例如，非信息性先驗值），可以給它一個直觀的定義（包含真值的概率）。

但這對於頑固的反貝葉斯方法有些沮喪，因為為了驗證給他的CI提供條件的條件，他/她必須給出貝葉斯解決方案，而貝葉斯解決方案將自動保留直觀的解釋！ p>

最簡單的示例是正常均值的$ 1- \ alpha $置信區間，具有已知方差$ \ overline {x} \ pm \ sigma Z _ {\ alpha / 2} $和$ 1- \ alpha $後驗可信區間$ \ overline {x} \ pm \ sigma Z _ {\ alpha / 2} $。

我不確定條件是否正確，但我知道信任對於保持CI的直觀解釋很重要：

1）存在數據透視統計，其分佈與參數無關（精確的數據是否存在於正態分佈和卡方分佈之外？）

2）沒有任何令人討厭的參數（除非是數據透視統計，這是在製作CI時必須處理的討厭的參數的少數 exact 之一）

3）感興趣的參數存在足夠的統計量，並且置信區間使用了足夠的統計量

4）充分統計量的抽樣分佈和後驗分佈在充分統計量和參數之間具有某種對稱性。在正常情況下，採樣分佈的對稱性為$（\ overline {x} | \ mu，\ sigma）\ sim N（\ mu，\ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}}）$而$（ \ mu | \ overline {x}，\ sigma）\ sim N（\ overline {x}，\ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}}）$。

這些條件通常很困難進行查找，通常可以更快地計算出貝葉斯區間並進行比較。一個有趣的練習可能是嘗試回答以下問題：“什麼時候我的CI也是可信區間？”通過查看此先前知識，您可能會發現有關CI程序的一些隱藏假設。

這件事可能很難理解：

• 如果平均所有置信區間的95％將包含 參數
• 我有一個特定的置信區間
• 為什麼該間隔也包含參數的概率也為95％？

置信區間與採樣過程有關。如果您要抽取多個樣本並為每個樣本計算95％的置信區間，則會發現其中95％的區間包含總體平均值。

這對於例如工業質量部門很有用。那些傢伙拿了很多樣本，現在他們有信心，他們的大多數估計將非常接近現實。他們知道95％的估算值都不錯，但是對於每個具體的估算值都不能這麼說。

將此與擲骰子進行比較：如果您擲600個（普通）骰子，您將擲出6個？最好的猜測是$ \ frac {1} {6} $ * 600 =100。

但是，如果您擲了一個死，那就沒用了：“我現在有6個概率是1/6或16.6％”。為什麼？因為骰子顯示的是6或其他數字。您是否拋出了6。因此，概率為1或0。概率不能為$ \ frac {1} {6} $。

在擲骰子之前被問到擲一個骰子的概率為6時，貝葉斯會回答“ $ \ frac {1} {6} $”（根據先前的信息：每個人都知道骰子有6個雙方都有相同的機會落入其中一方），但是常客會說“不知道”，因為常客完全是基於數據，而不是先驗或任何外部信息。

同樣，如果您只有1個樣本（因此有1個置信區間），則無法說出總體平均值在該區間內的可能性。平均值（或任何參數）是否在其中。概率是1或0。

此外，置信區間內的值比該區間外的值更有可能是不正確的。我做了一個小插圖；一切均以°C為單位。請記住，水在0°C凍結，然後在100°C沸騰。

情況：在一個寒冷的湖泊中，我們想估算在冰之下流動的水的溫度。我們在100個位置測量溫度。這是我的數據：

• 0.1°C（在49個位置測量）；
• 0.2°C（也在49個位置）;
• 0°C（在1個位置。這只是水恰好即將結冰）；
• 95°C（在一個地方，有一家工廠非法將非常熱水倒入湖中）。
• 平均溫度：1.1°C；
• 標準偏差：1.5°C；
• 95％-CI：（-0.8°C ...... + 3.0°C）。

在此置信區間內的溫度絕對不會比其外的溫度高。該湖中流水的平均溫度不能低於0°C，否則不是水而是冰。該置信區間的一部分（即，從-0.8到0的部分）實際上具有包含true參數的0％概率。

總結：置信區間是一個經常性的概念，因此基於重複樣本的思想。如果許多研究人員將從該湖中取樣，並且所有這些研究人員都將計算置信區間，那麼這些區間中的95％將包含真實參數。但是對於一個單一的置信區間，無法說出包含真實參數的可能性。

假設我們處在一個簡單的情況中。您有一個未知的參數$ \ theta $和$ T $的一個估計值$ \ theta $，其不精確度約為1（非正式）。您認為（非正式地）$ \ theta $應該最經常出現在$ [T-1; T + 1] $中。

在一個真實的實驗中，您觀察到$ T = 12 $。

自然會問一個問題：“給我看（$ T = 12 $），$ \ theta \ in [11; 13] $的概率是多少？”。數學上：$ P（\ theta \ in [11; 13] | T = 12）$。大家自然會問這個問題。置信區間理論應該從邏輯上回答這個問題。但事實並非如此。

貝葉斯統計量確實回答了這個問題。在貝葉斯統計中，您實際上可以計算$ P（\ theta \ in [11; 13] | T = 12）$。但是在進行實驗並觀察$ T $之前，您需要假設一個先驗是$ \ theta $的分佈。例如：

• 假設$ \ theta $在$ [0; 30] $上具有先驗分佈
• 進行此實驗，找到$ T = 12 $
• 應用貝葉斯公式：$ P（\ theta \ in [11; 13] | T = 12）= 0.94 $

但是在常客統計中，沒有先驗，因此不存在$ P（\ theta \ in ... | T \ in ...）$之類的東西。相反，統計學家說的是這樣的： “無論$ \ theta $是什麼，[T-1; T + 1] $中$ \ theta \的概率都是$ 0.95 $”。數學上：$ \ forall \ theta，P（\ theta \ in [T-1; T + 1] | \ theta）= 0.95 $“

所以：

• 貝葉斯：$ P（\ theta \ in [T-1; T + 1] | T）= 0.94 $ for $ T = 12 $
• 常客：$ \ forall \ theta，P（\ theta \ in [T-1; T + 1] | \ theta）= 0.95 $

貝葉斯陳述更為自然。通常，經常性陳述會被自然地誤解為貝葉斯陳述（被任何多年未進行統計的正常人腦所誤解）。老實說，許多統計書都沒有明確指出這一點。

實際上呢？

在許多通常情況下，事實是，通過常識和貝葉斯方法獲得的概率非常接近。因此，使貝葉斯一詞的常客主義說法混亂不大的後果。但是“從哲學上”這是非常不同的。

好吧，我意識到，當您使用經典的頻率論方法為某個參數計算一個95％的置信區間時，這並不意味著該參數位於該區間內的可能性為95％。但是...當您從貝葉斯角度解決問題併計算參數的95％可信區間時，您得到（假設是非信息性先驗）與您獲得的區間完全相同使用經典方法。因此，如果我使用經典統計數據來計算（例如）數據集平均值的95％置信區間，則 確實是該參數存在該區間的概率為95％。

您正在詢問頻繁度置信區間。定義（請注意，您的2個引用都不是定義！只是陳述，兩個都是正確的）：

如果我重複了多次該實驗，則這個具有此參數值的擬合模型，在95％的實驗中，參數的估計值將落在該區間內。

因此，您有一個模型（使用觀察到的數據）及其估算參數。然後，如果您根據此模型和參數生成了一些假設數據集，則估計的參數將落入置信區間內。

因此，實際上，這種頻繁使用的方​​法需要該模型和估計的參數是固定的（給定的），並將您的數據視為不確定的-作為許多其他可能數據的隨機樣本。

這確實很難解釋，而且通常用作貝葉斯統計量的參數（我認為有時可能沒有爭議。另一方面，貝葉斯統計量將您的數據視為固定數據，並將參數視為不確定參數。貝葉斯可信區間/ strong>實際上是直觀的，就像您期望的那樣：貝葉斯可信區間是實際參數值佔95％的區間。

但是實際上，許多人以相同的方式解釋常客的置信區間因為貝葉斯可信區間和許多統計學家認為這不是很大問題-儘管他們都知道，但這不是100％正確的。同樣在實踐中，當使用貝葉斯非信息先驗時，頻率和貝葉斯置信度/可信區間不會有太大差異。

“置信區間”是“置信集”更廣泛概念的特定情況，它可以是也可以不是單個連接的區間。可以從數學上如下設想更廣泛的概念。假設我們有一個來自未知參數 $ \ mathbf {X} \ equiv（X_1，...，X_n）$ span> math-container“> $ \ theta \ in \ Theta $ span>。然後，從集合函數 $ \ mathcal {S} $ span>中創建 $ \ theta $ span>的confidence set滿足以下條件概率要求：

$$ 1- \ alpha = \ mathbb {P}（\ theta \ in \ mathcal {S}（\ mathbf {X}，\ alpha）| \ theta） \ quad \ quad \ quad \ text {適用於所有\ \ theta \ in \ Theta \ text {和} 0 \ leqslant \ alpha \ leqslant 1。$$ span>

請注意，如果 $ \ theta $ span>被認為是隨機變量，則此要求還意味著與邊際有關的以下 weaker 屬性包含的可能性：

$$ 1- \ alpha = \ mathbb {P}（\ theta \ in \ mathcal {S}（\ mathbf {X}，\ alpha）） \ quad \ quad \ quad \ text {for all} 0 \ leqslant \ alpha \ leqslant 1。 \ quad \ quad \ quad \ quad $$ span>

現在，對於給定值 $ 0 \ leqslant \ alpha \ leqslant 1 $ span>，給定一個與上述條件概率要求相稱的集合函數，數據 $ \ mathbf {x} $ span>（置信度 $ 1- \ alpha $ span>）是固定的設置 $ \ mathcal {S}（\ mathbf {x}，\ alpha）$ span>。在這是單個連接間隔的情況下，我們稱其為置信間隔。