此答案的數學傾向可能比您想要的要大。
要認識的重要一點是，全部這些均值只是偽裝的算術均值 。諧波）是“正確”的意思是在當前問題中找到“加法結構”。
換句話說，假設我們得到了一些抽象量$ x_1，x_2，\ ldots，x_n $ ，我將其稱為“度量”，出於一致性考慮，以下在一定程度上濫用了該術語。這三種方法中的每一種都可以通過以下方式獲得：（1）將每個$ x_i $轉換為某個$ y_i $，（2）取 arithmetic 均值，然後（3）轉換回原始的測量範圍。
算術平均值：顯然，我們使用“身份”轉換：$ y_i = x_i $。因此，步驟（1）和（3）很簡單（什麼都不做），並且$ \ bar x _ {\ mathrm {AM}} = \ bar y $。
幾何平均值：此處的加法結構位於原始觀測值的對數上。因此，我們取$ y_i = \ log x_i $，然後在步驟（3）中獲得GM，我們通過$ \ log $的反函數進行轉換，即$ \ bar x _ {\ mathrm {GM}} = \ exp（\ bar {y}）$。
調和平均值：這裡的可加結構位於我們觀察值的倒數上。因此，$ y_i = 1 / x_i $，則$ \ bar x _ {\ mathrm {HM}} = 1 / \ bar {y} $。
在物理問題中，這些問題通常是通過以下過程產生的：相對於測量值$ x_1，\ ldots，x_n $和其他一些數量，例如$ z_1，\ ldots，z_n $，我們有一些數量$ w $保持不變。現在，我們玩以下游戲：保持$ w $和$ z_1 + \ cdots + z_n $不變，並嘗試找到一些$ \ bar x $，以便如果我們替換單個觀察值$ x_i的 each $ by $ \ bar x $，那麼“總計”關係仍然保持。
距離-速度-時間示例似乎很受歡迎，因此讓我們使用它。
恆定距離，不同時間
考慮固定距離行駛了$ d $。現在假設我們以速度$ v_1，\ ldots，v_n $行駛此距離$ n $次，乘以時間$ t_1，\ ldots，t_n $。現在我們玩我們的遊戲。假設我們要用某個固定速度$ \ bar v $代替我們的各個速度，以使總時間保持恆定。注意，我們有$$ d-v_i t_i = 0 \ >，$$，因此$ \ sum_i（d-v_i t_i）= 0 $。當我們在遊戲中將每個$ v_i $替換為$ \ bar v $時，我們希望保持這種 total 關係（總時間和總行駛距離）。因此，$$ nd-\ bar v \ sum_i t_i = 0 \ >，$$，由於每個$ t_i = d / v_i $，我們得到$$ \ bar v = \ frac {n} {\ frac {1} {v_1} + \ cdots + \ frac {1} {v_n}} = \ bar v _ {\ mathrm {HM}} \ >。$$
請注意，此處的“附加結構”是針對各個時間，而我們的測量值與它們成反比，因此適用諧波均值。
變距，恆定時間
現在，讓我們更改情況。假設對於$ n $個實例，我們在距離$ d_1，\ ldots，d_n $上以速度$ v_1，\ ldots，v_n $行駛固定時間$ t $。現在，我們希望保留總距離。我們有$$ d_i-v_i t = 0 \ >，$$並且如果$ \ sum_i（d_i-v_i t）= 0 $，整個系統是守恆的。再次玩遊戲，我們尋求一個$ \ bar v $，使得$$ \ sum_i（d_i-\ bar vt）= 0 \ >，$$，但是由於$ d_i = v_i t $，我們得到了$$ \ bar v = \ frac {1} {n} \ sum_i v_i = \ bar v _ {\ mathrm {AM}} \ >。$$
在這裡，我們要維護的累加結構與測量值成比例
等體積立方體
假設我們構造了一個具有給定體積$ V的$ n $維盒$和我們的測量值是盒子的邊長。然後$$ V = x_1 \ cdot x_2 \ cdots x_n \ >，$$
並假設我們要構造一個具有相同體積的$ n $維（超）多維數據集。也就是說，我們要用共同的邊長$ \ bar x $替換我們的各個邊長$ x_i $。然後$$ V = \ bar x \ cdot \ bar x \ cdots \ bar x = \ bar x ^ n \ >。$$
這很容易表明我們應該採用$ \ bar x =（x_i \ cdots x_n）^ {1 / n} = \ bar x _ {\ mathrm {GM}} $。
請注意，加法結構位於對數中，即$ \ log V = \ sum_i \ log x_i $，我們正在嘗試保留左側數量。
從舊的新方法
作為練習，請考慮一下“ “自然”的意思是在第一個示例中讓距離和時間都變化的情況。也就是說，我們有距離$ d_i $，速度$ v_i $和乘以$ t_i $。我們要保存總的行駛距離和時間，並找到一個恆定的$ \ bar v $來實現這一目標。
鍛煉：在這種情況下，“自然”是什麼意思？