P（HHHHH）：如果您要重新開始實驗，那麼擁有五個腦袋的概率是多少？

P（H | HHHH）：如果您要開始實驗，但要繼續重新進行實驗，直到您連續獲得四個腦袋，然後假設您有四個腦袋，那麼獲得最後一個腦袋的概率是多少作為頭？

P（HHHHH）

擲硬幣5次有32種可能的結果。這裡列出了它們：

  HHHHH THHHH HTHHH TTHHH HHTHH THTHH HTTHH TTTHH
HHHTH THTHTH HTHTH TTHTH HTHTH THTTH HTTTH TTTTH
HHHHT THHHT HTHHT TTHHT HHTHT THTHT HTTHT TTTHT
HHHTT THHTT HTHTT TTHTT HHTTT THTTT HTTTT TTTTT
 

所有這些結果均可能發生。因此，這些序列中任何一個的概率為1/32 = .03125。這就是為什麼P（HHHHH）= .03125。

P（H | HHHH）

我們現在正在考慮 single 硬幣翻轉的可能結果，該硬幣翻轉僅觀察到4個頭。單次擲硬幣的唯一可能的兩種結果是：

  H
Ť
 

由於假定硬幣擲出是獨立的，所以我們只連續觀察了4個正面，因此這與考慮P（H）（一次拋擲正面概率，無論考慮什麼）相同剛剛被觀察到。這就是P（H | HHHH）= 0.5的原因。

通常在信息方面對條件有幫助：

$$ \ mathbb {P} [H | HHHH] $$ span>

可以理解為“假設我已經有4個頭，那麼獲得正面的概率”，即假設information已經有4個正面。。

當然，我們被告知拋硬幣是獨立的，因此此信息無濟於事-過去的拋硬幣與即將發生的拋硬幣無關，即，此信息與我們沒有任何有關即將發生的事件的可能性的信息。因此（由於它是一個公平的硬幣）， $ \ mathbb {P} [H | HHHH] = .5 $ span>

我們可以將條件的 視為信息的 ，因此 $ \ mathbb {P} [H] $ span>是“沒有進一步信息的正面概率”，並且

$$ \ mathbb {P} [H | HHHH] = \ mathbb {P} [H] $$ span>

是上述內容的重述-已知我們已有4個頭的信息，獲得頭的概率與沒有其他信息的頭的概率相同。

最後我們可以看到

$$ \ mathbb {P} [HHHHH] $$ span>

為“ 5個頭的概率，沒有進一步的信息”。這意味著我們尚不知道任何拋擲的結果（因為這些結果將被視為信息），因此我們得到 $ \ mathbb {P} [HHHHH] = \ frac1 {32} $ span>-在5次拋擲中所有 $ 2 ^ 5 $ span>可能的結果中（從我們尚不知道任何結果時開始） ，所有擲出的都是H的只有1。

沒有標記硬幣投擲和/或它們的結果（甚至不通過逗號或交叉符號分開結果）的符號可能會造成混淆。我們如何知道每個 $ H $ span>在 $ P（H | HHHH）$ span>中所指的硬幣或 $ P（HHHHH）$ span>？我們經常可以猜測，但這是不必要的模棱兩可。

讓我們用自然數索引硬幣投擲及其結果。鑑於硬幣沒有記憶力，因此希望更加清楚 $$ P（H_1 | H_1，H_2，H_3，H_4）= 1， $$ span> 但 $$ P（H_5 | H_1，H_2，H_3，H_4）= 0.5 $$ span> 和 $$ P（H_1，H_2，H_3，H_4，H_5）= 0.03125。 $$ span>

我建議您運行模擬，並且可以在data上應用條件過濾器來查看條件分佈。

具體來說，您可以

1. 在5個公平硬幣上模擬大量（例如500萬個）硬幣翻轉
2. 嘗試查找前4個硬幣，結果為HHHH
3. 通過前4個硬幣的結果為HHHH選擇數據的子集
4. 檢查第5個硬幣的分配情況。
ol>

您可能會發現它接近0.5。

公平獨立硬幣

在給定事件b（已經有4個頭 $ H_4H_3）的情況下，發生事件a（第五種情況是頭 $ H_5 $ span>）的概率$ span>）

$$ \ underbrace {P（H_5 | H_4H_3H_2H_1）} _ {\ text {P（a給定b）}}} = \ frac {\ overbrace {P（H_5 \ & H_4H_3H_2H_1）} ^ {\ text {P（a和b）}}} {\底線{P（H_5 \ & H_4H_3H_2H_1）__ \\文本{P（a和b）}} + \底線{P（T_5 \ & H_4H_3H_2H_1）} _ {\ text {P（（not a and b）}}} $$ span>

對於公平硬幣，您有 $ P（T_5H_4H_3H_2H_1）= P（H_5H_4H_3H_2H_1）= 0.5 ^ 5 $ span>。上面的等式將是

$$ {P（H_5 | H_4H_3H_2H_1）} = \ frac {0.5 ^ 5} {0.5 ^ 5 + 0.5 ^ 5} = 0.5 $$ span> >

使用同樣獨立的公平硬幣 （請注意，我們可能有 $ p_ {heads} = p_ {tails} $ span>，但是不一定意味著翻轉是獨立的），您應該得到上述結果。但這不是 general 結果。

不公平硬幣（或具有非獨立翻​​轉的硬幣）

但是，如果硬幣可能不公平或不是獨立於另一筆硬幣，那可能就不正確了。基於硬幣公平性的一些假定概率分佈，您可以為 $ P（T_5H_4H_3H_2H_1）$ span>和 $$計算不同的值P（H_5H_4H_3H_2H_1）$ span>。

在更一般的情況下（硬幣不一定公平），如果已經有四個頭，您可能會得到 $ P（H_5 | H_4H_3H_2H_1）>P（H_5）$ span >

我看到兩個解釋：

1 ：（與已發布的相同，但特定於硬幣正面和反面） 因為只有兩種可能，即H和T，所以P（H | HHHH）與P（HHHHH）/（P（HHHHH）+ P（HHHHT））相同 P（HHHHH）= .5 ^ 5，而P（HHHHT）= .5 ^ 5，因此，P（H | HHHH）= .5 ^ 5 /（。5 ^ 5 + .5 ^ 5）= .5 ^ 5 /（2 *（。5 ^ 5））= 1/2

2： P（HHHHH）是整個故事，P（H | HHHH）只是最後一章。

5次翻轉後達到HHHHH的概率為（1/2）^ 5，因為如上所述，每次翻轉都具有1/2的無條件概率。P（H | HHHH）表示為（1/2）的悖論與在看下一個翻轉之前忽略4個翻轉之後進入HHHH狀態的可能性有關。總而言之，P（H | HHHH）的概率似乎令人驚訝地高出1/2，而沒有首先考慮到獲得HHHH狀態的概率就很低（（1/2）^ 4）。

$ P（H | \ text {anything}）= P（H）= 0.5 $ span>拋擲一枚公平硬幣的概率為“正”一半是無條件的，無論之前或同時發生了什麼其他事件。

$ | $ span>條件概率表示法 $ P（A | B）$ span>主要表示概率的 $ A $ span>。從 $ B $ span>給出了一個條件，該條件修改了 $ P（A）$ span>的含義情況 $ B $ span>為真。

$ P（A | B）$ span>可以被視為宏運算符：

$$ P（A | B）\ equiv \ frac {P（A \ cap B）} {P（B）} $$ span>

因此，如果我們替換感興趣的參數：

$$ P（H | HHHH）\ equiv \ frac {P（H \ cap HHHH）} {P（HHHH）} $$ span>

但是 $ P（H \ cap HHHH）$ span>僅僅意味著扔掉四個頭的概率，然後是另一個：它的含義與 $ P（HHHHH）$ span>。實際上， $ P（HHH ...）$ span>是 $ P（H \ cap H \ cap H ...）$ span>。因此：

$$ P（H | HHHH）\ equiv \ frac {P（H \ cap HHHH）} {P（HHHH）} \ equiv \ frac {P（HHHHH）} {P（HHHH）} $$ span>

它是扔五個頭的概率除以扔四個頭的概率。由於拋硬幣是獨立的並且它們的概率被相乘，所以這就是：

$$ \ frac {（1/2）^ 5} {（1/2）^ 4} = 1/2 = P（H）$$ span>

考慮這些獨立事件可能會有所幫助，例如爬山所使用的各個步驟。每一步只需要您上山一步。然而，儘管這些步驟在距離和精力上都相同，但隨後的每個步驟也會使您更高。

當我仍然只邁出一步時，我上山的最後一步怎麼能將我帶到山頂？還是只消耗少量的能量？當然，這是因為所有先前的步驟都造成了一種情況，如果再執行完全相同的一個步驟，我就會達到頂峰。

在擲硬幣時，每次擲硬幣都有50％的機率使您離目標更近一圈。成功的話，那50％的機會只會再給您一次“頭腦”，使您連續獲得5個。更進一步。而且總是有50％的機會。但是，如果您已經連續經歷了一套少有的四組，那麼再執行一個步驟（與其餘步驟一樣）將完成一組五組...如果通過。 ，那將是50％的時間。

希望有幫助。

觀測值是獨立的，因此上一次抽獎不會影響下一次抽獎。因此，如果您事先看到THTHH或預先看到H或預先看到TTTHHH，則P（H）= P（T）= 0.50。您上次實際看到的內容不會影響下一次抽獎。但是，如果以前的事件尚未發生，則您無需處理條件概率。

展望未來也是如此。由於每次抽籤都不會影響其後繼者，因此您必須乘以結果的概率。這樣便可以得到P（TH）= 0.25，但P（T | H）= 0.50。

有條件概率是在給定已經發生的情況下發生某事的可能性 —強調過去時。