您可以機械地檢查不存在期望值，但這在物理上應該直觀，至少要接受惠更斯原理和大數法則 。對於柯西分佈，大數定律的結論是失敗的，因此它沒有平均值。如果平均$ n $個獨立的柯西隨機變量，則結果不會收斂為$ 0 $，因為$ n \到\ infty $的概率為$ 1 $。它保持相同大小的柯西分佈。這在光學中很重要。

柯西分佈是來自點光源的線上的歸一化光強。惠更斯原理說，您可以通過假設光源和目標之間的任何線重新發射光來確定強度。因此，可以通過假設光線首先擊中距離$ 1 $米的線並以任何前向角度重新發射，來確定距離$ 2 $米的線的光強度。距離為$ n $米的直線上的光的強度可以表示為距離$ 1 $米的直線上光的分佈的$ n $倍卷積。也就是說，$ n $個獨立柯西分佈的總和是一個按比例縮放$ n $的柯西分佈。

如果柯西分佈具有均值，那麼根據大數定律，n美元折疊卷積除以n美元的第25美元百分位數必須收斂到0美元。相反，它保持不變。如果在$ 1 $米，$ 2 $米等的（透明）線上標記$ 25 $百分位數，則這些點將以$ 45 $度形成一條直線。它們不會向$ 0 $彎曲。

這特別告訴您有關柯西分佈的信息，但是您應該了解積分檢驗，因為還有其他分佈，這些均無平均值，並且沒有清晰的物理解釋。 。

響應@whuber對Michael Chernicks答案的評論而添加了答案（並完全重寫以消除whuber指出的錯誤。）

柯西期望值的積分值之所以說隨機變量是不確定的，是因為該值可以被“製造”為任何喜歡的東西。積分$$ \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \ frac {x} {\ pi（1 + x ^ 2）} \，\ mathrm dx $$（以黎曼積分的意義解釋）為通常稱為不正確積分，其值必須計算為極限值：$$ \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \ frac {x} {\ pi（1 + x ^ 2）} \，\ mathrm dx = \ lim_ {T_1 \ to- \ infty} \ lim_ {T_2 \ to + \ infty} \ int_ {T_1} ^ {T_2} \ frac {x} {\ pi（1 + x ^ 2）} \，\ mathrm dx $$ or $$ \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \ frac {x} {\ pi（1 + x ^ 2）} \，\ mathrm dx = \ lim_ {T_2 \ to + \ infty} \ lim_ {T_1 \ to- \ infty} \ int_ {T_1} ^ {T_2} \ frac {x} {\ pi（1 + x ^ 2）} \，\ mathrm dx $$和或當然，兩個評估都應給出相同的有限值。如果不是，則說積分是不確定的。這立即表明了為什麼將柯西隨機變量的主題定義為未定義：內部極限的極限值發散。

柯西主值作為單個極限獲得：$$ \ lim_ {T \ to \ infty } \ int _ {-T} ^ {T} \ frac {x} {\ pi（1 + x ^ 2）} \，\ mathrm dx $$，而不是上述雙限制。期望積分的主值很容易看出是$ 0 $，因為該限制對所有$ T $具有值$ 0 $。但這不能說Cauchyrandom變量的均值為$ 0 $。也就是說，將平均值定義為通常意義上的積分值，而不是主值意義上的積分。

對於$ \ alpha > 0 $，請考慮積分$$ \ begin {align} \ int _ {-T} ^ {\ alpha T} \ frac {x} {\ pi（1 + x ^ 2）} \，\ mathrm dx& = \ int _ {-T} ^ {T} \ frac {x} {\ pi（1 + x ^ 2）} \，\ mathrm dx + \ int_ {T} ^ {\ alpha T} \ frac {x} {\ pi（1 + x ^ 2）} \，\ mathrm dx \\ & = 0 + \ left。\ frac {\ ln（1 + x ^ 2）} {2 \ pi} \ right | _T ^ {\ alpha T} \\ & = \ frac {1} {2 \ pi} \ ln \左（\ frac {1+ \ alpha ^ 2T ^ 2} {1 + T ^ 2} \ right）\\ & = \ frac {1} {2 \ pi} \ ln \ left（\ frac {\ alpha ^ 2 + T ^ {-2}} {1 + T ^ {-2}} \ right）\ end {align} $$接近$ \ displaystyle \ frac {\ ln（\ alpha）} {\ pi} $的極限值，作為$ T \ to \ infty $。當$ \ alpha = 1 $時，我們得到本金值$ 0 $以上討論。因此，我們不能為表達式
$$ \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \ frac {x} {\ pi（1 + x ^ 2）} \，\ mathrm dx $$賦予明確的含義沒有說明如何處理兩個無窮大，而忽略這一點會導致各種複雜性和錯誤的結果，因為當主要價值的牛奶偽裝成價值的奶油時，事情並不總是看起來那樣。這就是為什麼Cauchyrandom變量的均值被稱為未定義，而不是整數的主值$ 0 $的原因。從Lebesgue積分的意義上定義了值積分，那麼問題就更簡單了。 $ \ int g $僅在$ \ int | g | $是有限的時才存在，因此對於Cauchy隨機變量$ X $來說$ E [X] $是未定義的，因為$ E [| X |] $不是有限的。

雖然以上答案是對為什麼柯西分佈沒有期望的有效解釋，但我發現兩個獨立的正態$ \ mathcal {N}（0,1）$變量的比率$ X_1 / X_2 $是柯西的事實就像在照亮一樣：確實，我們有$$ \ mathbb {E} \ left [\ frac {| X_1 |} {| X_2 |} \ right] = \ mathbb {E} \ left [| X_1 | \ right] \ times \ mathbb {E} \ left [\ frac {1} {| X_2 |} \ right] $$，第二個期望是$ + \ infty $。

柯西（Cauchy）沒有平均值，因為您選擇的點（0）不是平均值。這是一個中位數和一個 mode 。絕對連續分佈的均值定義為$ \ int xf（x）dx $，其中$ f $是密度函數，積分取自$ f $的域（從$-\ infty $到$ \對於柯西（Cauchy），則為infty $。對於柯西密度，該積分根本不是有限的（從$-\ infty $到$ 0 $的一半是$-\ infty $，而從$ 0 $到$ \ infty $的一半是$ \ infty $）。